这是《机器学习中的数学基础》系列的第3篇。
- 矩阵的初步理解
在研究矩阵乘法之前，我们先来看看什么是矩阵。通俗地说，把多个向量并排放到一起，就叫做矩阵。比如下面这个2*2矩阵，就是由向量（2,1）和向量（5,3）组合到一起的：
通常，我们所说的mxn的矩阵，是指矩阵有m行，n列。
- 矩阵的进一步理解
接下来，我们看矩阵和向量的乘法是什么样子的。先直接抛出定义的公式：
这个公式我们要好好研究下，把它研究透彻了，就能明白矩阵和向量的乘法中，矩阵到底扮演一个什么样的角色。
我们先来看结果，矩阵乘以向量，结果还是一个向量。不难看出，向量（ae+bf，ce+df）可以分解成两个向量的和。这两个向量分别是（ae，ce）和（bf，df），我们把公共的系数提出来，表示为：
这是啥？这不就是向量（a，c）和向量（b，d）的线性组合吗？也就是说，矩阵乘以向量，就是以矩阵各列进行的线性组合，而这个线性组合的系数（权）就是向量的各个元素。通俗点说，矩阵乘以一个“旧”向量，把它变成了一个“新”向量。我们把这个变换，就叫做线性变换。也就是说，矩阵的作用就是一个线性变换。
- 矩阵的深层次理解
你以为这就结束了吗？并没有。下面我们将从基的角度再一次理解矩阵。
我们已经知道给定任意一个向量（e，f），它等价于（ei+fj），i和j是一组基。而这个“旧”向量（e，f），经过一个矩阵[a，b；c，d]的作用后，变成了“新”向量（eh+fk）。其中向量h=（a，c），向量k=（b，d）。对比前后两个新旧向量，你发现什么了吗？
你会发现，它们的系数是一样的，都是e和f。那这又说明什么呢？首先，可以看做又再一次验证了矩阵的作用确实是线性变换。其次，我们又需要一次思维跳跃。“旧”向量（ei+fj）我们把它看做由基i和j构成；那新向量（eh+fk）呢？我们也可以把它看成由新的基h和k构成。
重点来了，这次由某个矩阵“主导”的线性变换，只有基底发生了变化（从i、j到h、k）。我们把h和k放在一起，发现[h k]就是这个产生线性变换的矩阵啊。因此，我们看到的矩阵，竟然是一组基。当矩阵乘以向量时，得到的结果就是以矩阵的各列作为基，以旧向量元素为权（系数）而构造的一个新向量。
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