欧氏几何与非欧几何的本质区别是什么?

古希腊哲学家、西方哲学的鼻祖苏格拉底曾说过：我只知道我什么都不知道。连古希腊最智慧的人、近似于神一样的天才都如是说，谁又能说，能把一个问题说得彻底清楚明白呢？

数学家希伯尔特曾说：我们应该知道，我们必将知道。可是不久就被另一名数学家哥德尔“不完备性定理”打脸。虽然哥德尔的理论让一代一代的数学家们沮丧，但一代又一代的天才般的数学家们，却仍然不断地把数学这门学科推向前进，让现代数学越来越复杂，越来越交叉，很难说有个非常清楚的楚河汉界。

很可能，一般人看到这个标题后觉得不可理解。我们会觉得几何包含在数学之中，怎么会问“数学与几何的本质区别是什么”这样的问题呢？属于种属关系的两个对象，一般是不会比较区别的。在此，我是把本标题中的“数学”当作“算术及代数”亦即“数”的学问来理解；也就是说，本标题中“数学”，是“数”学，是“算术、代数”的意思，并不是指数学这门学科。在这样理解的前提下，就此标题展开讨论。

数与形是最古老数学硏究的两个对象。数是研究数量关系即研究数的学问，形是硏究空间形式的学问，它们研究的对象不同，同属于数学这门学科。在古埃及，每年的尼罗河讯期泛滥，都会淹没尼罗河畔的农田，同时也冲没了农田间的界埂。每次都要重新划分田块，也要比较计算面积大小。就这样，古老的数学诞生了。可以说，从数学诞生之日起，数的学问与形的学问即几何的学问，就联系结合在一起了。

毕达哥拉斯曾说：万物皆数。这个数应该是指我们现在称之为的有理数，意思是说万物都可以用有理数来表达、都可以用有理数来揭示其规律。但毕达哥拉斯定理（勾股定理），却是数形结合的典范。

我国著名数学家华罗庚曾赋诗一首来说明数形结合的道理：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。这从一定程度上说，回答了本文标题之问。

一般来讲，“数”学与几何的本质区别在于它们的思维方式的不同：几何是逻辑思维，是演绎推理，是理性思维，正因如此，才使数学走向科学；“数”学是经验思维，是感性思维，是算法应用，是经验重现。但是，数论中相关定理的证明，却是属于逻辑思维的范畴，随着布尔代数的出现，这一区别就越来越模糊了。

就我们绝大多数读者而言，我想应该就比较通俗些的内容，用描述性的语言，来付论此问题。

小学所学的自然数、分数、小数及它们的加减乘除运算；初中所学的有理数、实数以及它们的加、减、乘、除、乘方及开方运算；广义来讲，还应该包括代数内容。这些都应该算是数的学问。平面几何中，尺规作图作一个已知线段为边长的正三形，将军饮马问题，一个三角形中大角对大边问题，不涉及具体角度的三角形全等问题，特殊四边形性质问题，都应该属于几何的学问。几何中一般不涉及具体的数，一涉及到具体的数，就应该归类于数形结合，而不是纯粹的几何了。

本觉无力回答此问题，但悟空问答官方帐号邀请回答，只能勉为其难了。请见谅！

二者的本质没有区别！（当然，您首先应该知道一个东西，那就是所有的本质都是人去解释出来，人们如何解释更贴切，那么这种解释方式就是这个事物的本质，因此才会有马克思主义哲学里面提到的人对一个事物的认识是阶段性的，不可能一下子穷尽这个事物的本质，只能逐渐深入。也就意味着同一事物的本质也是随着历史科技的发展而变化的，所以回答，必须站在当下的历史时期，当下的研究情况去回答。它们的本质或许不一样，但目前来说，是一样的）都是数量的关系。只不过一个体现在数字上，一个体现在空间上。

你会发现无论是初中高中的数形结合思想，还是大学的解析几何，数学分析，都是在用数研究形，为啥？因为量化了的东西就容易拿捏了。单纯地推敲图形的点线面的规律，很多复杂图形你累死也推敲不出什么东西的。而且用数研究形还有一个显著优势，就是很多无法画出来的形也可以先由数来刻画出来并加以研究，最终通过研究的成果反推出形是一个什么情况，典型例子比如数学分析里面提到的隐函数，以及卡拉比-邱流形的图形刻画。数学家自己是能隐约感觉出来这个形状的，但是如何给别人去解释描述呢？这就需要水平了，而强行去画，基本上画不出来，因为维数不是三维，如果画，只能画多维图形在三维空间下的投影，那最后还是需要别人去想象，而且就算大家都隐约感觉出来了，也没有现实意义，因为不知道如何用出去。而数形结合就是图形用出去的途径，图形通过数字的刻画，保证了人们可以根据需要修改图形的方方面面棱棱角角，以满足现实需要（当然，有些是满足未来现实需要，当下现实可能找不到其用武之地）