是的，“古代政府机构很多都叫‘寺’”。
这大约起于秦，或曰始自汉。
《左传.隐七年》之《疏》曰：“自汉以来，三公所居谓之府，九卿所居谓之寺。”
《汉书.元帝纪》：“地震于陇西郡，……坏败豲（huan）道县城郭官寺及民室屋。”《注》：“凡府庭所在皆谓之寺。”
古代官府何以称“寺”？
《说文》云：“寺，廷也。有法度者也。从寸，之声。”
插上一句，小篆的“寺”，上面是“之”字，隶变之后，才改为“土”。
（小篆“寺”字）
徐锴解曰：“寸，法度也，守也。”
段玉裁注：“言法度字，多从寸。”
许慎这是说，“寺”，是形声字；本义为朝廷或官廷，从寸表示遵从法度。
这是一种说法。
《释名》云：“寺，嗣也。官治事者相嗣续于其内也。”
这是说，“寺”的含义是“嗣”，表示历代官员均在此治事。
这又是一种说法。
还有第三种说法，与前述“寺”起于秦有关。
《诗.秦风.车邻》：“未见君子，寺人之令。”《毛传》：“寺人，内小臣也。”《集疏》：“寺、侍古字通。……寺人即侍臣，盖近侍之通称”。
《周礼.天官》：“寺人掌王之内人及女宫之令。”郑玄《注》：“寺之言侍也。”
按《毛传》《集疏》和《郑注》的说法，“寺人”即宫廷内的官员，“寺”义为“侍”。
康熙“谕令”陈廷敬、张玉书等所编《康熙字典》，不赞成这种说法，认为“以侍释寺义，非”。
归结起来看，许慎《说文》关于“寺”之解释，可能更靠谱一些。
从这个本义上，后来引申有“恭敬承奉”的“近臣”之义，再孳乳出“侍”字，这比较符合逻辑。
唐颜师古《匡谬正俗》则认为，先秦之“寺人”，就是东汉开始所称的“宦官”云云。
“寺”指“宦官”，也是一种说法。
但无论如何，九卿官邸称“寺”自汉始，这是有据可查的。
《唐书.百官表》曰：“汉以太常、光禄勋、卫尉、太僕、廷尉、大鸿胪、宗正、司农、少府为九卿，后魏以来卿名虽仍旧，而所莅之局谓之寺，因名九寺。”
要说的是，“寺”，最初与佛教无关。
东汉明帝年间，天竺僧摄摩腾、竺法兰以白马驮经东来，初驻于东汉负责“外交事务”的鸿胪寺，后以“寺”为名，在洛阳雍关西移建“白马寺”。
这是中国最早称浮屠所居为“寺”。
梵语，称“寺”为“伽（qie）蓝”。
北魏太武帝始光元年，改所有僧寺为“伽蓝”。
隋炀帝大业中，改“伽蓝”为“道场”。
至唐，又将“道场”改回到“寺”。一直至今。
因为最初的“寺”就是古代政府的行政管理机构，只不过后来因为佛教西来把佛教的庙宇称为了“寺”。
“寺”的起源
寺的称呼最早源于西周时期，在我国“寺”的原意指的是宦官、太监。西周时期称呼太监为“寺人”，《周礼》中谓天官冢宰所属有寺人，为宫中侍御之宦。
后来到了秦朝时期，寺逐渐演变为管理宫中宦官的机构，“寺”这个字逐渐就带上了政务机构的属性。汉灭秦以后，继承了秦朝的各种遗产，政府各种管理机构也在秦朝的基础上加以改良。寺就逐渐演变成了九卿的官署的通称。不过九寺成为正式的官署定名是在南北朝的北齐时期。例如大理寺、鸿胪寺等这些大名鼎鼎的机构。
“寺”的演变
宋·赵彦卫《云麓漫钞》卷六：“汉明帝梦金人，而摩腾、竺法始以白马陀经入中国，明帝处之鸿胪寺。后造白马寺居之，取鸿胪寺之义。隋曰道场，唐曰寺。本朝则大曰寺，次曰院。”
东汉明帝时期，因汉明帝“感梦求法”，派遣官员西行求法，将佛教引入我国。汉明帝派出的官员他们在西域的大月氏（古代阿富汗）遇到了来自天竺的僧人摄摩腾和竺法兰，得佛经佛像，于是相偕同行，以白马驮经，并于永平十年（67年）来到当时的京城雒阳。为了给两位高僧一个居住和翻译《四十二章经》的地方，汉明帝敕命在城西的雍门外按天竺式样建造了一组建筑，以僧人们暂住的“鸿胪寺”的“寺”字称之，为了纪念白马驮经之功，便将这组建筑命名为“白马寺”。
但是据考证汉朝时虽然九卿之中有大鸿胪一职，但是并没有设立鸿胪寺，鸿胪寺是在北齐时真正定名的。所以这里寺是由鸿胪寺演变而来这种说法是存疑的。
白马寺是佛教传入中国后兴建的第一座寺院，白马寺建立之后，中国“僧院”便泛称为“寺”，白马寺也因此被认为是中国佛教的发源地，有中国佛教的“祖庭”和“释源”之称。
“寺”的含义
所以”寺“在中国古代有三重含义：
1.佛教的庙宇，发展到后来其他宗教的庙宇以及一些带有祭祀性质的建筑都被称为寺，例如伊斯兰教的清真寺。
2.官署的意义，一般以九寺代称。
3.宦官的含义，一般以寺人代称。
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