昵称为“灵羽无双”的读者朋友问到下面的问题.
左老师，你好.下面这道题答案虽然可以用特殊位置法很快的猜出答案，可我无论用向量法（易得到表达式但难求取值范围）还是传统几何法都感觉不好解释为何答案是三分之根号六到一.你有好方法能解释下吗？谢谢.
灵羽无双，
你的意思大约是，不想用特殊值法，希望看到完整的推导过程.
如果没有空间想象能力，建立空间直角坐标系是“无脑解法”.
如果具备一点空间想象能力，本题用几何法解起来更快.
1
正方体的体对角线垂直于与它异面的面对角线
如上图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1为体对角线，A1B、BD、A1D为面对角线.
容易证明：正方体的体对角线和与它异面的面对角线是垂直的.（有兴趣的读者朋友可推导具体证明过程，并不复杂）
显然，本题中的体对角线AC1和三条面对角线A1B、BD、A1D都是异面的.
所以，直线AC1垂直于A1B，直线AC1垂直于BD，直线AC1垂直于A1D，故AC1垂直于平面A1BD.
2
将垂线平移到指定位置
通过（1），我们找到了平面A1BD的垂线.
但是，我们要求的是OP与该平面所成的角.
也就是说，该垂线并不在指定位置.我们需要对它进行平移.
平移的手段是——用中位线进行平移.
连接AC，则它与BD必相交于点O.
再取CC1的中点E，连接OE.
因为OE//AC1，所以OE也垂直于平面A1BD.
3
线面角转化
因为OE垂直于平面A1BD，所以OP与平面A1BD所成的角和OP与OE的夹角互余.
也就是说，所求的线面角α的正弦值等于∠POE的余弦值.
下面画出矩形ACC1A1.
故答案选B.
另外必须说一句，我的精力非常有限.
因此你的问题极大可能得不到回复，给我提问的主要功能是你帮自己自我梳理，即你自己问自己问题，然后自己给出答案.
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